我只证明(a)：

 

(a)如果$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数级数，收敛到$x$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是实数级数，收敛到$y$.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛至$x+y$的实数级数.

证明：$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛到$x$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_1$,都存在整数$N_1$,$\forall p,q\geq N_1$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qa_n|\leq\varepsilon_1$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛到$y$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_2$,都存在相应的整数$N_2$,使得$\forall p,q\geq N_2$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_2$.于是对于一切$p,q\geq\max\{N_1,N_2\}$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^q(a_n+b_n)|=|\sum_{n=p}^qa_n+\sum_{n=p}^qb_n|\leq|\sum_{n=p}^qa_n|+|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_1+\varepsilon_2$.因此$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛级数.

现在证明它收敛到$x+y$.由于$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$收敛，因此$$\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^N(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum _{n=m}^Na_n+\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^Nb_n=\sum_{n=m}^{\infty}a_n+\sum_{n=m}^{\infty}b_n$$